Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），求數(shù)列的通項式．

Answer 1

分析 由遞推公式可得a_n-a_n-1，由此利用累加法即可求得a_n，注意驗證n=1時情況．

解答 解：因為a₁=3，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），
所以a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$，a₂-a₁=$1-\frac{1}{2}$，a₃-a₂=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，a₄-a₃=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
把以上各式加起來，得a_n-a₁=（1-）+（$\frac{1}{2}\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n}$（n≥2），
所以a_n=2-$\frac{1}{n}$（n≥2），
當n=1時，a₁=3不適合上式，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2-\frac{1}{n}，n≥2，n∈{N}^{•}}\end{array}\right.$

點評 本題考查由數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項公式，已知形如a_n+1-a_n=f（n）求a_n，常用累加法解決．