Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓.過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

（1）雙曲線的方程為；（2）是定值，且.

解析試題分析：（1）先利用拋物線的定義求出點的橫坐標，然后將點的橫坐標代入拋物線的方程并結(jié)合點所在的象限得到點的坐標，先計算出的長度，然后利用雙曲線的定義計算出的值，由確定的值，從而得到雙曲線的方程；（2）對直線的斜率存在與否分兩種情況討論，對直線的斜率不存在時進行驗證，在直線的斜率存在時，先假設(shè)直線的方程，然后根據(jù)直線與的位置關(guān)系得到直線的方程，并求出圓心到兩直線的距離，根據(jù)圓的半徑長、直線截圓的弦長和圓心距三者之間的關(guān)系求出兩直線截圓的弦長、，并進行驗證是否為定值.
試題解析：（1）∵拋物線的焦點為，
∴雙曲線的焦點為、，                  1分
設(shè)在拋物線上，且，
由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，          3分
∴，                  4分
又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得：
，∴， ∴雙曲線的方程為：．            6分
（2）為定值．下面給出說明．
設(shè)圓的方程為：， ∵圓與直線相切，
∴圓的半徑為，故圓：．             7分
顯然當(dāng)直線的斜率不存在時不符合題意，                  8分
設(shè)的方程為，即，
設(shè)的方程為，即，
∴點到直線的距離為，
點到直線的距離為，                  10分
∴直線被圓截得的弦長， &n