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有一正三棱錐和一個正四棱錐，它們的所有棱長都相等，把正三棱錐和正四棱錐的一個全等的面重合．
①說明組合體是什么樣的幾何體？
②證明你的結論．
分析：先畫出幾何體來，由正三棱錐和正四棱錐，它們的所有棱長都相等推知各個面都是正三角形，再由內錯角相等可分別證得側棱平行，由面與面平行的判斷定理可證得兩個面平面，由斜三棱柱的結構特征得到結論．
解答：精英家教網解：（1）如圖所示，是斜三棱柱．
（2）正三棱錐為S-AED，正四棱錐為S-ABCD，
重合的面為△ASD，
如圖所示，設AD，BC中點分別為M、N，
由AD⊥平面MNS知平面MES重合；
∵SE=AB=MN，EM=SN，
∴MNSE為平行四邊行．
∴ES
∥
.
.
MN，又AB
∥
.
.
MN，
∴ES
∥
.
.
AB，
∴四邊形ABSE
為平行四邊形，CDES為平行四邊形．
∴面SBC∥面EAD，
AB∥CD∥SE，且AB不垂
直平面SBC
∴組合體為斜三棱柱．
點評：本題主要考查空間幾何體的結構特征及其內在聯系．
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（本小題滿分14分）

如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

（1）求證：P-ABC為正四面體；

（2）棱PA上是否存在一點M，使得BM與面ABC所成的角為45°？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由。

（3）設棱臺DEF-ABC的體積為V=, 是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和，并且該平行六面體的一條側棱與底面兩條棱所成的角均為60°? 若存在,請具體構造出這樣的一個平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.

 

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②證明你的結論．

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