選修4-1幾何證明選講
如圖,圓O的圓心O在Rt△ABC的直角邊BC上,該圓與直角邊AB相切,與斜邊AC交于D,E,AD=DE=EC,AB=
14

(I)求BC的長(zhǎng);
(II)求圓O的半徑.
分析:(I)根據(jù)已知條件結(jié)合切割線定理,得AB2=AD•AE=
9
2
AB2=63,再在Rt△ABC中利用勾股定理可算出BC的長(zhǎng)度;
(II)設(shè)圓O的半徑為r,根據(jù)割線定理,結(jié)合(I)的計(jì)算,可得CF•CB═
2
9
AC2=AB2,即(7-2r)×7=14,解之可得圓O的半徑為7.
解答:解:(Ⅰ)由已知及由切割線定理,得
AB2=AD•AE=
1
3
AC•
2
3
AC,所以AC2=
9
2
AB2.…(3分)
∵AB=
14
,∴AC2=
9
2
×14=63
在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理得:BC=
AC2-AB2
=7.…(5分)
(Ⅱ)設(shè)圓O與BC的交點(diǎn)為F,圓O的半徑為r.
由割線定理,得CF•CB=CE•CD=
1
3
AC•
2
3
AC=
2
9
AC2
結(jié)合(I)AC2=
9
2
AB2,得CF•CB=AB2,…(8分)
∴(7-2r)×7=14,解之得r=
5
2
,即圓O的半徑為7.…(10分)
點(diǎn)評(píng):本題給出圓心在直角三角形一邊上的圓,求一條直角邊長(zhǎng)和圓半徑的大小,著重考查了勾股定理、切割線定理等與圓有關(guān)的比例線段等知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)A.(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知點(diǎn)A是曲線ρ=2sinθ上任意一點(diǎn),則點(diǎn)A到直線ρsin(θ+
π3
)=4
的距離的最小值是
 

B.(選修4-5不等式選講)不等式|x-log2x|<x+|log2x|的解集是
 

C.(選修4-1幾何證明選講)如圖所示,AC和AB分別是圓O的切線,且OC=3,AB=4,延長(zhǎng)AO到D點(diǎn),則△ABD的面積是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)分)
A.(不等式選做題)不等式|2x-1|<3的解集為
(-1,2)
(-1,2)

B、(選修4-1幾何證明選講) 如圖所示,AC和AB分別是⊙O的切線,且OC=3,AB=4,延長(zhǎng)AO到D點(diǎn),則△ABC的面積是
192
25
192
25

C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)參數(shù)方程
x=cosα
y=1+sinα
(α為參數(shù))化成普通方程為
x2+(y-1)2=1
x2+(y-1)2=1

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(選修4-1幾何證明選講)
如圖,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),且不與頂點(diǎn)重合,已知AE=m,AC=n,AD,AB為方程x2-14x+mn=0的兩根
(1)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓;
(2)若∠A=90°,m=4,n=6,求C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)閱記分)
A.(選修4-5 不等式選講)
若任意實(shí)數(shù)x使m≥|x+2|-|5-x|恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
[7,+∞)
[7,+∞)
;
B.(選修4-1 幾何證明選講)
如圖:EB、EC是⊙O的兩條切線,B、C是切點(diǎn),A、D是⊙O上兩點(diǎn),如果∠E=46°,∠DCF=32°,則∠A的度數(shù)是
99°
99°

C.(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
極坐標(biāo)系下,直線ρcos(θ-
π
4
)=
2
與圓ρ=
2
的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(考生注意:請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評(píng)閱記分)
(A)(選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知點(diǎn)A是曲線ρ=2sinθ上任意一點(diǎn),則點(diǎn)A到直線ρsin(θ+
π
3
)=4
的距離的最小值是
5
2
5
2

(B)(選修4-5不等式選講)已知2x+y=1,x>0,y>0,則
x+2y
xy
的最小值是
9
9

(C)(選修4-1幾何證明選講)若直角△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D,且AD=1,BD=2,則△ABC的面積為
2
2

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