Question

設(shè)數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且數(shù)列{a_n+1-a_n }（n∈N*）是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n-2}（n∈N*）是等比數(shù)列。
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）是否存在k∈N*，使a_k-b_k∈（0，）？若存在，求出k；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由已知a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1， -1-（-2）=1
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）+（n-1）·1=n-3
n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=（n-4）+（n-5）+…+（-1）+（-2）+6
=
n=1也合適
∴a_n=（n∈N*）
又b₁-2=4，b₂-2=2
而
∴b_n-2=（b₁-2）·（）^n-1
即b_n=2+8·（）ⁿ
∴數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式為：a_n=，b_n=2+8·（）ⁿ；
（2）設(shè)
=
當k≥4時，為k的增函數(shù)
-8·（）^k也為k的增函數(shù)
而f（4）=
∴當k≥4時，a_k-b_k≥
又f（1）=f（2）=f（3）=0
∴不存在k使f（k）∈（0，）。