Question

已知函數(shù)f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)，令log_ax=t，得x=a^t，代入函數(shù)解析式即可求得f（x）的解析式；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，在R上任取x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），因式分解，比較其與零的大小，即可求得結(jié)果；（3）由（2）知f（x）在R上是增函數(shù)，因為當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，所以f（2）-4=

a

a2-1

（a²-a^-2）-4≤0，
解此不等式即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）令log_ax=t，∴x=a^t，代入得f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）
即f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），（a＞0且a≠1）．
（2）當a＞1，

a

a2-1

＞0，f（x）在R上是增函數(shù)，
在R上任取x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

（ax1-a-x1）-

a

a2-1

( ax2-  a-x2)

a a2-1 [(ax1-ax2)+( 1 ax2 - 1 ax1 )] = a a2-1 (ax1-ax2)(1+ 1 ax1ax2 )＜0 ∴f(x1)＜f(x2)

∴f（x）在R上是增函數(shù)，當0＜a＜1時，同理可證：f（x）在R上是增函數(shù)
（3）由（2）知f（x）在R上是增函數(shù)，
∴當x∈（-∞，2）時，f（x）＜f（2）=

a

a2-1

（a²-a^-2），
∴f（2）-4=

a

a2-1

（a²-a^-2）-4≤0，
整理得

a2-4a+1

a

≤0且a＞0且a≠1．
∴a²-4a+1≤0，解得2-

3

≤a≤2+

3

，且a≠1，
即[2-

3

，1）∪（1，2+

3

]．

點評：此題屬于中檔題．考查換元法求函數(shù)的解析式，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值問題，注意換元時注意引進新變量的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性時，注意結(jié)果的化簡一般是若干因式積商形式或完全平方式和的形式，同時考查了運算能力．