Question

10．已知圓（x+1）²+y²=4與拋物線y²=2px（p＞0）的準線交于A、B兩點，且AB=2$\sqrt{3}$，則p的值為4．

Answer 1

分析 先求出拋物線的準線方程，代入到圓（x+1）²+y²=4中，求出y的值，再根據|AB|=|y₂-y₁|即可求出答案．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的準線為x=-$\frac{p}{2}$，設A、B兩點坐標為（-$\frac{p}{2}$，y₁），（-$\frac{p}{2}$，y₂），
∴（-$\frac{p}{2}$+1）²+y²=4，
即y²=4-（-$\frac{p}{2}$+1）²，
∴y=±$\sqrt{4-（-\frac{p}{2}+1）^{2}}$，
∴|AB|=|y₂-y₁|=2$\sqrt{4-（-\frac{p}{2}+1）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴4-（-$\frac{p}{2}$+1）²=3，
解得p=4，
故答案為：4．

點評 本題考查拋物線的相關幾何性質及直線與圓的位置關系，考查了運算能力，屬于中檔題．