【題目】已知a,b,x,y∈R,證明:(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2 , 并利用上述結(jié)論求(m2+4n2)( + )的最小值(其中m,n∈R且m≠0,n≠0).
【答案】證明:∵b2x2+a2y2≥2abxy,
∴a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy,
即(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2成立.
由不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2成立,
知(m2+4n2)( + )
當(dāng)且僅當(dāng)m2=n2時(shí),等號(hào)成立,
即(m2+4n2)( + )的最小值為25
【解析】把 b2x2+a2y2≥2abxy 的兩邊同時(shí)加上a2x2+b2y2 , 即可得到(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2成立.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用基本不等式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握基本不等式:,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào));變形公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E為AB的中點(diǎn).
(1)求證:平面PDE⊥平面PAC;
(2)求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函數(shù),且f(x+2)=﹣f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)求﹣1≤x≤3時(shí),f(x)的解析式;
(3)當(dāng)﹣4≤x≤4時(shí),求f(x)=m(m<0)的所有實(shí)根之和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(Ⅰ)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(﹣1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m 的取值范圍.
(Ⅱ)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi),求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,定義兩點(diǎn)P(x1 , y1),Q(x2 , y2)之間的“直角距離”為d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.現(xiàn)有下列命題:
①已知P(1,3),Q(sin2α,cos2α)(α∈R),則d(P,Q)為定值;
②原點(diǎn)O到直線x﹣y+1=0上任一點(diǎn)P的直角距離d(O,P)的最小值為 ;
③若|PQ|表示P、Q兩點(diǎn)間的距離,那么|PQ|≥ d(P,Q);
④設(shè)A(x,y)且x∈Z,y∈Z,若點(diǎn)A是在過P(1,3)與Q(5,7)的直線上,且點(diǎn)A到點(diǎn)P與Q的“直角距離”之和等于8,那么滿足條件的點(diǎn)A只有5個(gè).
其中的真命題是 . (寫出所有真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2﹣3x+3)ex的定義域?yàn)閇﹣2,t],設(shè)f(﹣2)=m,f(t)=n.
(1)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)f(x)在[﹣2,t]上為單調(diào)函數(shù);
(2)求證:m<n;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等邊三角形,固定點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗(陰影部分均不通風(fēng)),MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動(dòng)且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù);
(2)求△EMN的面積S(平方米)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的周長(zhǎng)為 +1,且sinA+sinB= sinC (I)求邊AB的長(zhǎng);
(Ⅱ)若△ABC的面積為 sinC,求角C的度數(shù).
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【題目】若當(dāng)x∈R時(shí),函數(shù)f(x)=a|x|始終滿足0<|f(x)|≤1,則函數(shù)y=loga| |的圖象大致為( )
A.
B.
C.
D.
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