Question

10．設(shè)有拋物線C：y=-x²+$\frac{9}{2}$x-4，過(guò)原點(diǎn)O作C的切線y=kx，使切點(diǎn)P在第一象限，求切線方程．

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程，聯(lián)立方程組，利用判別式為0，求解即可．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則y₁=kx₁①
y₁=-x${\;}_{1}^{2}$+$\frac{9}{2}$x₁-4②
①代入②得x${\;}_{1}^{2}$+（k-$\frac{9}{2}$）x₁+4=0．
∵P為切點(diǎn)，
∴△=（k-$\frac{9}{2}$）²-16=0得k=$\frac{17}{2}$或k=$\frac{1}{2}$…（6分）

當(dāng)k=$\frac{17}{2}$時(shí)，x₁=-2，y₁=-17．
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，x₁=2，y₁=1．
∵P在第一象限，
∴所求的斜率k=$\frac{1}{2}$．
故所求切線方程為y=$\frac{1}{2}$x…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，切線方程的求法，考查計(jì)算能力．