Question

已知函數(shù)，則方程（）的根的個數(shù)不可能為（ ） 
6      5      4      3

Answer 1

A

試題分析：先畫出函數(shù)f（t）的圖象，得出f（t）=a的實數(shù)根的情況；再利用換元法，令t=2x²+x，進一步考查f（2x²+x）=a根的情況即可解：（1）畫出f（x）圖象，

當x＞0時，f（x）=x+ ≥2，當x≤0時，f（x）=x³+3≤3．于是可得：①當2＜a＜3時，f（x）=a有3個根，一負二正；②當a=3時，f（x）=a有3個根，一零二正；③當3＜a時，f（x）=a有2個正根；④當a=2時，f（x）=a有一正一負根；⑤當a＜2時，f（x）=a只有一負根．（2）令t=2x²+x=2(x+ )²-
，則t≥-，①當2＜a＜3時，f（t）=a有3個t使之成立，一負二正，兩個正t分別對應(yīng)2個x，當t＜-時，沒有x與之對應(yīng)，當t=-時，有1個x與之對應(yīng)，當t＞-時，有2個x與之對應(yīng)，∴根的個數(shù)分別為4、5、6個；②當3＜a時，f（t）=a有2個正根，兩個正t分別對應(yīng)2個x，此時根的個數(shù)為4個．③由題目不必考慮a≤2的情形．所以根的個數(shù)只可能為4、5、6個．即方程f（2x²+x）=a的根的個數(shù)只可能為4、5、6個，不可能為3個．故選A．
點評：正確得出函數(shù)的單調(diào)性并畫出函數(shù)圖象、利用換元法及分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．