Question

18．已知△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊為a、b、c，acosA-bcosB=0，a≠b．
（1）求角C； 
（2）若y=$\frac{sinA+sinB}{sinA•sinB}$，試確定實數(shù)y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．由于a≠b，可得A≠B，可得A+B=$\frac{π}{2}$．即可得出C．
（2）由sinB=cosA 得y=$\frac{sinA+cosA}{sinAcosA}$，令 sinA+cosA=t∈（1，$\sqrt{2}$]，則 sinAcosA=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，y=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，根據(jù)t-$\frac{1}{t}$在（1，$\sqrt{2}$]單調(diào)遞增，即可求得實數(shù)y的取值范圍．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵acosA=bcosB，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．
∴2A=2B，或2A=π-2B，
∵a≠b，∴A≠B，
∴A+B=$\frac{π}{2}$．
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{2}$．…（6分）
（2）∵sinB=cosA，
∴y=$\frac{sinA+cosA}{sinAcosA}$，…（7分）
∵sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴sin（A+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴sinA+cosA∈（1，$\sqrt{2}$]，…（9分）
令 sinA+cosA=t∈（1，$\sqrt{2}$]，則 sinAcosA=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，…（11分）
∴y=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，…（12分）
∵t-$\frac{1}{t}$在（1，$\sqrt{2}$]單調(diào)遞增，
∴0＜t-$\frac{1}{t}$≤$\sqrt{2}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y≥2$\sqrt{2}$，
又a≠b，故等號不成立，
∴y的取值范圍為（2$\sqrt{2}$，+∞）…（14分）

點評 本題考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、“弦化切”、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．