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18.已知△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊為a、b、c,acosA-bcosB=0,a≠b.
(1)求角C; 
(2)若y=sinA+sinBsinAsinB,試確定實數(shù)y的取值范圍.

分析 (1)由acosA=bcosB,利用正弦定理可得:sin2A=sin2B,2A,2B∈(0,2π).由于a≠b,可得A≠B,可得A+B=\frac{π}{2}.即可得出C.
(2)由sinB=cosA 得y=\frac{sinA+cosA}{sinAcosA},令 sinA+cosA=t∈(1,\sqrt{2}],則 sinAcosA=\frac{{t}^{2}-1}{2},y=\frac{2t}{{t}^{2}-1}=\frac{2}{t-\frac{1}{t}},根據(jù)t-\frac{1}{t}在(1,\sqrt{2}]單調(diào)遞增,即可求得實數(shù)y的取值范圍.

解答 (本題滿分為14分)
解:(1)∵acosA=bcosB,
∴sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B,2A,2B∈(0,2π).
∴2A=2B,或2A=π-2B,
∵a≠b,∴A≠B,
∴A+B=\frac{π}{2}
∴C=π-(A+B)=\frac{π}{2}.…(6分)
(2)∵sinB=cosA,
∴y=\frac{sinA+cosA}{sinAcosA},…(7分)
∵sinA+cosA=\sqrt{2}sin(A+\frac{π}{4}),A∈(0,\frac{π}{2}),
∴A+\frac{π}{4}∈(\frac{π}{4}\frac{3π}{4}).
∴sin(A+\frac{π}{4})∈(\frac{\sqrt{2}}{2},1],
∴sinA+cosA∈(1,\sqrt{2}],…(9分)
令 sinA+cosA=t∈(1,\sqrt{2}],則 sinAcosA=\frac{{t}^{2}-1}{2},…(11分)
∴y=\frac{2t}{{t}^{2}-1}=\frac{2}{t-\frac{1}{t}},…(12分)
∵t-\frac{1}{t}在(1,\sqrt{2}]單調(diào)遞增,
∴0<t-\frac{1}{t}\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
∴y≥2\sqrt{2}
又a≠b,故等號不成立,
∴y的取值范圍為(2\sqrt{2},+∞)…(14分)

點評 本題考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、“弦化切”、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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