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18.已知△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊為a、b、c,acosA-bcosB=0,a≠b.
(1)求角C; 
(2)若y=sinA+sinBsinAsinB,試確定實數(shù)y的取值范圍.

分析 (1)由acosA=bcosB,利用正弦定理可得:sin2A=sin2B,2A,2B∈(0,2π).由于a≠b,可得A≠B,可得A+B=π2.即可得出C.
(2)由sinB=cosA 得y=sinA+cosAsinAcosA,令 sinA+cosA=t∈(1,2],則 sinAcosA=t212,y=2tt21=2t1t,根據(jù)t-1t在(1,2]單調(diào)遞增,即可求得實數(shù)y的取值范圍.

解答 (本題滿分為14分)
解:(1)∵acosA=bcosB,
∴sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B,2A,2B∈(0,2π).
∴2A=2B,或2A=π-2B,
∵a≠b,∴A≠B,
∴A+B=π2
∴C=π-(A+B)=π2.…(6分)
(2)∵sinB=cosA,
∴y=sinA+cosAsinAcosA,…(7分)
∵sinA+cosA=2sin(A+π4),A∈(0,π2),
∴A+π4∈(π43π4).
∴sin(A+π4)∈(22,1],
∴sinA+cosA∈(1,2],…(9分)
令 sinA+cosA=t∈(1,2],則 sinAcosA=t212,…(11分)
∴y=2tt21=2t1t,…(12分)
∵t-1t在(1,2]單調(diào)遞增,
∴0<t-1t2-12=22,
∴y≥22
又a≠b,故等號不成立,
∴y的取值范圍為(22,+∞)…(14分)

點評 本題考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、“弦化切”、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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