Question

13．設(shè)實數(shù)a＜0，定義域為R的函數(shù)$f（x）=a{cos^2}x-bsinxcosx-\frac{a}{2}$的最大值是$\frac{1}{2}$，且$f（\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
（1）求a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降冪，再由已知得關(guān)于a，b的不等式組，求解不等式組得a，b的值；
（2）由（1）得函數(shù)解析式，再由x的范圍求得相位的范圍，則函數(shù)f（x）在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最值可求．

解答 解：（1）$f（x）=a{cos^2}x-bsinxcosx-\frac{a}{2}$=$\frac{a（1+cos2x）}{2}-\frac{2}sin2x$$-\frac{a}{2}$
=$\frac{a}{2}cos2x-\frac{2}sin2x$，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}^2}+{\frac{4}^2}=\frac{1}{4}\\-\frac{a}{4}-\frac{{\sqrt{3}b}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：$f（x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}cos2x+\frac{1}{4}sin2x=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∵$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
故當(dāng)$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{5π}{12}$時，函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$；
當(dāng)$2x-\frac{π}{3}=\frac{7π}{6}$，即$x=\frac{3π}{4}$時，函數(shù)f（x）的最小值為$-\frac{1}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．