Question

已知命題p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數(shù)m∈[-1，1]恒成立；命題q：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解．若命題p是假命題且命題q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假,函數(shù)恒成立問題

專題：簡易邏輯

分析：命題p：|x1-x2|=

m2+8

≤3，所以可以得到a²-5a-3≥3，解該不等式即得a≤-1，或a≥6；
命題q：a²x²+ax-2=（ax-1）（ax+2）=0，所以x=

1

a

，或-

2

a

，所以有|

1

a

|≤1，或|-

2

a

|≤1，這樣即可求出a的取值范圍：a≤-1，或a≥1；
根據(jù)命題p是假命題且命題q是真命題可得

-1＜a＜6 a≤-1，或a≥1

，解該不等式即可得到a的取值范圍．

解答： 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的兩實根；
∴

x1+x2=m x1x2=-2

；
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

；
當(dāng)m∈[-1，1]時，|x₁-x₂|_max=3；
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數(shù)m∈[-1，1]恒成立可得：
a²-5a-3≥3，解得a≤-1，或a≥6，∴命題p為真時，a滿足a≤-1，或a≥6；
對于方程a²x²+ax-2=0顯然a≠0，并解該方程得x=-

2

a

，或

1

a

；
∵該方程在[-1，1]上有解，則：|-

2

a

|≤1，或|

1

a

|≤1，∴|a|≤1，即a≤-1，或a≥1；
∵命題p是假命題，且命題q是真命題；
∴

-1＜a＜6 a≤-1，或a≥1

，解得1≤a＜6；
∴實數(shù)a的取值范圍是[1，6）．

點評：考查韋達(dá)定理，二次函數(shù)的最值，解一元二次不等式，及真命題，假命題的概念．