Question

在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則關(guān)于x的不等式x²（cosC+1）+2

2

xsinC+1≥0恒成立．
（1）求∠C的取值范圍；
（2）若c=2

3

，a+b=4，求當(dāng)∠C取最大值時(shí)△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）由條件可得，cosC+1＞0，且△=（2

2

sinC）²-4（cosC+1）≤0，解出不等式，再由余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到取值范圍；
（2）應(yīng)用余弦定理和面積公式，即可得到面積．

解答： 解：（1）由于關(guān)于x的不等式x²（cosC+1）+2

2

xsinC+1≥0恒成立，
則cosC+1＞0，且△=（2

2

sinC）²-4（cosC+1）≤0，即2cos²C+cosC-1≥0，
解得，cosC≥

1

2

，由于0＜C＜π，則0＜C≤

π

3

，
故∠C的取值范圍是（0，

π

3

]；
（2）由（1）得，∠C的最大值為

π

3

．
則由c=2

3

，a+b=4，即有c²=a²+b²-2abcosC
=（a+b）²-2ab-ab，即12=16-3ab，即有ab=

4

3

，
故△ABC的面積為：

1

2

absinC=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理和三角形的面積公式和應(yīng)用，考查二次不等式恒成立的問題，考查三角函數(shù)的不等式的解法，屬于中檔題．