Question

在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，先從這個(gè)盒子中有放回地先后抽取兩張卡片，設(shè)這兩張卡片的號(hào)碼分別為x，y，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（x-2，x-y），記ξ=|OP|²．
（1）求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取最大值”的概率；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，當(dāng)（x，y）=（1，3）或（3，1）時(shí)，ξ取最大值，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出其概率的值．
（2）易知ξ的所有可能取值為0，1，2，5，再求出ξ取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出ξ的分布列，利用ξ的期望的定義求出Eξ 的值．

解答：解：（1）由題意可得，當(dāng)（x，y）=（1，3）或（3，1）時(shí)，ξ取最大值，且ξ=5．
令“ξ取最大值”為事件A，
則P(A)=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

=

2

9

．----5分
（2）易知ξ的所有可能取值為0，1，2，5，當(dāng)ξ=0時(shí)，（x，y）=（2，2），所以P(ξ=0)=

1

9

．
當(dāng)ξ=1時(shí)，（x，y）=（1，1）或（3，3）或（2，1）或（2，3），所以P(ξ=1)=

4

9

．
當(dāng)ξ=2時(shí)，（x，y）=（1，2）或（3，2），所以P(ξ=2)=

2

9

．
當(dāng)ξ=5 時(shí)，（x，y）=（1，3）或（3，1），P(ξ=5)=

2

9

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	5
P	1 9	4 9	2 9	2 9

----10分
所以Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+5×

2

9

=2．----12

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，離散型隨機(jī)變量的期望的求法，屬于中檔題．