Question

平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=

2

，且∠BAD=45°，以BD為折線，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AC．

（Ⅰ）求證：AB⊥DC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件利用余弦定理求出BD=1，從而得到AB⊥BD，由此能夠證明AB⊥DC．
（Ⅱ）以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的大小．

解答： （Ⅰ）證明：在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos45°=1，
∵AB=1，AD=

2

，且∠BAD=45°
∴BD²=1+2-2

2

×

2

2

=1，即BD=1，
∴AB⊥BD，
∴面ABD∩面BDC，∴AB⊥面BDC，
∴AB⊥DC．
（Ⅱ）解：在四面體ABCD中，以D為原點，
DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，0，1），
設(shè)平面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

BA

=(0，0，1)，

BC

=(-1，1，0)，
∴

n • BA =z=0 n • BC =-x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，1，0)，
設(shè)平面DAC的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
∵

DA

=(1，0，1)，

DC

=(0，1，0)，
∴

m • DA =x1+z1=0 m • DC =y1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，0，-1)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴二面角B-AC-D的大小為60°．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．