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17.己知首項(xiàng)為x1的數(shù)列{xn}滿足xn+1=4xn2xn+1.請(qǐng)解答下列問題:
(1)若x1=4965,試問:數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列?說明理由.
(2)若無窮數(shù)列{xn}是一個(gè)常數(shù)列,試求x1
(3)若無窮數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列,試求x1的取值范圍.

分析 (1)由已知數(shù)列遞推式逐一求出數(shù)列前4項(xiàng),得到x4=-1,此時(shí)遞推式分母為0,則說明數(shù)列只有4項(xiàng),為有窮數(shù)列;
(2)由已知窮數(shù)列{xn}是一個(gè)常數(shù)列,即對(duì)于任意自然數(shù)n,均有xn+1=xn則得到xn2-3xn+2=0,解方程即得x1;
(3)數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列,轉(zhuǎn)化為研究數(shù)列{xn}的單調(diào)性,不等式恒成立問題,然后利用導(dǎo)數(shù)求得答案.

解答 解:(1)由xn+1=4xn2xn+1,x1=4965,得
x2=4×496524965+1=1119,x3=4×111921119+1=15,x4=4×15215+1=1
當(dāng)n=4時(shí),x5無意義,∴數(shù)列{xn}是有窮數(shù)列,僅有4項(xiàng);
(2)無窮數(shù)列{xn}是一個(gè)常數(shù)列,即每一項(xiàng)均為一相同的常數(shù)
即xn+1=xn,得到xn2-3xn+2=0,解得xn=1或xn=2,即x1=1或x1=2;
(3)由xn+1=4xn2xn+1,得xn+11=3xn3xn+1,則xn+12=2xn4xn+1,
兩式作比得:xn+11xn+12=32xn1xn2,
可得數(shù)列{xn1xn2}是以x1為首項(xiàng),以32為公比的等比數(shù)列,
設(shè)x1=m,則xn1xn2=m1m232n1
xn=2+1m1m232n11,數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則
g(n)=m1m232n11單調(diào)遞減,
∴g′(n)=m1m232n1ln32在n∈N*時(shí)恒小于0,
32n1ln320,∴m1m20,即m∈(1,2).
∴x1的取值范圍是(1,2).

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列判定、通項(xiàng)公式,分?jǐn)?shù)不等式、指數(shù)運(yùn)算,不等式恒成立問題.考查分析解決問題、變形構(gòu)造、計(jì)算等能力,屬難題.

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