Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c，當(dāng)x=1時f（x）的極大值為7，當(dāng)x=3 時，f（x）有極小值，
（1）求a，b，c的值．
（2）函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）因為當(dāng)x=1時，f（x）有極大值，當(dāng)x=3時，f（x）有極小值，所以把x=1和3代入導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)都等于0，就可得到關(guān)于a，b，c的兩個等式，再根據(jù)極大值等于7，又得到一個關(guān)于a，b，c的等式，三個等式聯(lián)立，即可求出a，b，c的值．
（2）因為函數(shù)再x=3處有極小值，所以把x=3代入原函數(shù)，求出的函數(shù)值即為函數(shù)的極小值．

解答： 解：（1）∴f（x）=x³+ax²+bx+c
∵f'（x）=3x²+2ax+b
而x=1和x=3是極值點，
所以

f′(1)=0 f′(3)=0

即

3+2a+b=0 27+6a+b=0

解之得：a=-6，b=9
又f（1）=1+a+b+c=1-6+9+c=7，故得c=3．
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²-9x+2而x=3是它的極小值點，所以函數(shù)f（x）的極小值為f（3）=27-54+27+3=3．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的極值中的應(yīng)用，做題時要細(xì)心．理解極值與導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系及極值的判斷規(guī)則是解題的關(guān)鍵，本題是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題，常見題型