Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為平行四邊形，其中AB=

2

，BD=BC=1，AA₁=2，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱DD₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求異面直線AD₁與BE所成角的正切值；
（2）當(dāng)DF為何值時(shí)，EF與BC₁所成的角為90°？

Answer 1

分析：（1）連結(jié)EC₁，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，從而得出AD₁∥BC₁，所以∠EBC₁為異面直線AD₁與BE所成的角．由線面垂直的判定與性質(zhì)，利用勾股定理算出Rt△D₁DB中BE、EC₁的長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的定義加以計(jì)算，可得直線AD₁與BE所成角的正切值；
（2）由（1）的結(jié)論得BE⊥側(cè)面DCC₁D₁，從而得到BE⊥EF．因此由線面垂直判定定理，可得若EF⊥BC₁則EF⊥平面BEC₁，得到EF⊥EC₁．進(jìn)而在矩形DCC₁D₁中研究，可得當(dāng)DF=

1

4

時(shí)△DEF∽△CC₁E成立，此時(shí)EF⊥EC₁．由此可得當(dāng)DF=

1

4

時(shí)，EF⊥平面BEC₁成立，滿足直線EF與BC₁所成的角為90°．

解答：解：（1）連結(jié)EC₁，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AB

∥

.

CD，CD

∥

.

C₁D₁，
∴AB

∥

.

C₁D₁，可得四邊形ABC₁D₁是平行四邊形．
∴AD₁∥BC₁，可得∠EBC₁為異面直線AD₁與BE所成的角．
∵BD=BC=1，E為DC的中點(diǎn)，∴BE⊥CD，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面CC₁D₁D⊥平面ABCD，平面CC₁D₁D∩平面ABCD=CD，
∴BE⊥側(cè)面DCC₁D₁，
∵EC₁?側(cè)面DCC₁D₁，
∴BE⊥EC₁．
∵AB=CD=

2

，BD=BC=1，
∴△BCD是等腰直角三角形，
可得BE=

2

2

BC=

2

2

，
又∵在Rt△BEC₁中，EC₁=

EC2+CC12

=

3 2

2

，
∴tan∠EBC₁=

EC1

BE

=3，
即直線AD₁與BE所成角的正切值等于3；
（2）∵由（1）知，BE⊥側(cè)面DCC₁D₁，EF?側(cè)面DCC₁D₁，
∴BE⊥EF．
又∵DE=EC=

2

2

，CC₁=AA₁=2．
∴當(dāng)DF=

1

4

時(shí)，CE：DF=CC₁：DE=2

2

，
結(jié)合∠EDF=∠C₁CE=90°，
可得△DEF∽△CC₁E，
此時(shí)∠DEF+∠CEC₁=90°，可得∠FEC₁=90°，
即EF⊥EC₁．
又∵BE⊥EF，EB∩EC₁=E，
∴EF⊥平面BEC₁，
∵BC₁?平面BEC₁，
∴EF⊥BC₁，可得EF與BC₁所成的角等于90°．
因此當(dāng)DF=

1

4

時(shí)，直線EF與BC₁所成的角為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的直四棱柱，求異面直線所成角的正切值，并探索兩條直線異面垂直的問(wèn)題．著重考查直棱柱的性質(zhì)、線面垂直與面面垂直的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力與空間想象能力，能正確作出輔助線、得到所求的空間角，是解答本題的關(guān)鍵．