已知雙曲線

(1)求直線L的斜率的取值范圍，使L與C分別有一個交點(diǎn)，兩個交點(diǎn)，沒有交點(diǎn).

(2)若Q(1,1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）見解析；（2）不存在.

【解析】（1） 本題涉及到用方程來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，一定要注意再利用判別式進(jìn)行判斷時，二次項系數(shù)不為零.

(2)本題求出直線方程后，要注意驗證二次方程的判別式是否大于零，如果不大于零，就不存在，否則存在.

解：（1）解方程組

 消去得 

  當(dāng) ， 時 

  當(dāng)時  

         由     得

         由     得

         由     得或

  綜上知 ：

 時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，

 時，直線與曲線切于一點(diǎn)，時，直線與曲線交于一點(diǎn).

或直線與曲線C沒有公共點(diǎn).

（2）不存在

假設(shè)以Q點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在

（1）當(dāng)過Q點(diǎn)的直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意.

（2）當(dāng)過Q點(diǎn)的直線的斜率存在時，設(shè)斜率為K

 聯(lián)立方程兩式相減得：

所以過點(diǎn)Q的直線的斜率為K=1

所以直線的方程為y=x即為雙曲線的漸近線

與雙曲線沒有公共點(diǎn)

即所求的直線不存在.

 

練習(xí)冊系列答案
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(1)求b的值;

(2)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與該雙曲線的右頂點(diǎn)重合,斜率為1的直線經(jīng)過右頂點(diǎn),與該拋物線交于A、B兩點(diǎn),求弦長|AB|.

 

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