Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1（x∈R）．
（1）試說明函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的；
（2）若函數(shù)g（x）=|f（x+）|+|f（x+）|（x∈R），試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，寫出函數(shù)g（x）的最小正周期并說明理由；
（3）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

解（1）∵f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1=sin2x-cos2x=2（sin2xcos-cos2xsin），
∴f（x）=2sin（2x-）．
∴函數(shù)f（x）的圖象可由y=sinx的圖象按如下方式變換得到：
①將函數(shù)的y=sinx圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y=sin（x-）的圖象；
②將函數(shù)y=sin（x-）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），
得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象；
③將函數(shù)y=sin（2x-）的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），
得到函數(shù)f（x）=2sin（2x-）的圖象．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x-），x∈R
∴g（x）=|f（x+）|+|f（x+）|=|2sin2x|+|2sin（2x+π）|=2|sin2x|．
又對任意x∈R，有g（-x）=2|sin（-2x）|=2|sin2x|=g（x），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．
∵函數(shù)y=2sin2x的最小正周期是π，
∴結合函數(shù)圖象可知，函數(shù)g（x）=2|sin2x|的最小正周期是T=．
（3）先求函數(shù)g（x）在一個周期[0，]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)值的取值范圍．
當x∈[0，]時，2x∈[0，π]，此時g（x）=2sin2x．
易知，此時g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[0，]，單調(diào)減區(qū)間是[，]；
函數(shù)的取值范圍是g（x）∈[0，2]．
因此，由周期函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)g（x）=2|sin2x|的單調(diào)增區(qū)間是[kπ，+kπ]；
單調(diào)減區(qū)間是[+kπ，kπ]，其中k∈Z．函數(shù)的g（x）值域是[0，2]．
分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式進行降次，再用輔助角公式合并，得f（x）=2sin（2x-）．再用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的公式，可得到函數(shù)由曲線y=sinx的圖象經(jīng)變換的過程．
（2）根據(jù)（1）得到的表示式代入化簡，得g（x）=2|sin2x|．因此不難由正弦函數(shù)的奇偶性，證出g（x）是偶函數(shù)，再結合正弦曲線的形狀，可得g（x）的最小正周期．
（3）注意到函數(shù)g（x）的最小正周期是，只需研究g（x）在區(qū)間[0，]上的單調(diào)性和最值，再結合函數(shù)的周期性，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．
點評：本題以一個特殊三角函數(shù)式為例，叫我們求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性等知識點，屬于基礎題．