Question

平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：CD₁所在的直線與BC₁所在的直線是異面直線．

Answer 1

證明：用反證法，
假設(shè)CD₁所在的直線與BC₁所在的直線不是異面直線．
設(shè)直線CD₁與BC₁共面α．
∵C，D₁∈CD₁，B，C₁∈BC₁，∴C，D₁，B，C₁∈α．
∵CC₁∥BB₁，∴CC₁，BB₁確定平面BB₁C₁C，
∴C，B，C₁∈平面BB₁C₁C．
∵不共線的三點C，B，C₁只有一個平面，
∴平面α與平面BB₁C₁C重合．
∴D₁∈平面BB₁C₁C，矛盾．
因此，假設(shè)錯誤，即CD₁所在的直線與BC₁所在的直線是異面直線．
分析：直接證明CD₁所在的直線與BC₁所在的直線是異面直線，比較困難，可以考慮反證法，假設(shè)CD₁所在的直線與BC₁所在的直線不是異面直線．設(shè)直線CD₁與BC₁共面α；然后推出矛盾的結(jié)論即可．
點評：本題考查異面直線的證明方法，考查學(xué)生應(yīng)用反證法的能力，是中檔題．