Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程，
（Ⅱ）先求函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到函數(shù)的極值點(diǎn)，再判斷極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，如果左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，取得極大值，如果左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，取得極小值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x
∴f′（x）=-2x²+4x-1，
∴k=f′（2）=-2×2²+4×2-1=-1，
f（2）=-2（2-1）²=-2，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y+2=-（x-2），即x+y=0
（Ⅱ）：對(duì)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R）求導(dǎo)數(shù)，得，f′（x）=-（3x-a）（x-a）
令f′（x）=0，得，x=a，或x=$\frac{a}{3}$
當(dāng)a＜0，a＜$\frac{a}{3}$，當(dāng)x＜a時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)a＜x＜$\frac{a}{3}$時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞$\frac{a}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值f（a）=，且f（a）=0；函數(shù)f（x）在x=$\frac{a}{3}$處取得極大值f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{{a}^{3}}{27}$．
當(dāng)a＞0，a＞$\frac{a}{3}$，當(dāng)x＜$\frac{a}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)$\frac{a}{3}$＜x＜a時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0；函數(shù)f（x）在x=$\frac{a}{3}$處取得極小值f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{{a}^{3}}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，極值處導(dǎo)數(shù)等于0，且極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，取得極大值，如果左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，取得極小值