Question

已知兩圓O₁，O₂內(nèi)切，圓O₁的半徑為1，圓O₂的半徑為3，動(dòng)圓M與圓0₁外切于點(diǎn)Q，且與圓O₂內(nèi)切于點(diǎn)P．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程
（2）求過點(diǎn)（0，

3

），傾斜角為

π

4

的直線被（1）中軌跡所截得的線段長度．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)兩個(gè)定圓O₁（-1，0），O₂（1，0），設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，由兩個(gè)圓相內(nèi)切和外切的條件，寫出動(dòng)圓圓心滿足的關(guān)系式，由橢圓的定義確定其軌跡即可；
（2）求出直線方程代入橢圓方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)兩個(gè)定圓O₁（-1，0），O₂（1，0），建立坐標(biāo)系，
設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，
動(dòng)圓M與圓O₁外切，又與圓O₂內(nèi)切，滿足|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R
所以|MO₂|+|MO₁|=4（常數(shù)）＞|O₁O₂|
故M點(diǎn)的軌跡為以O(shè)₁，O₂為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=1，
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．
（2）過點(diǎn)（0，

3

），傾斜角為

π

4

的直線方程為y=x+

3

，
代入橢圓的方程可得7x²+8

3

x=0，
所以x=0或x=-

8 3

7

，
所以直線被（1）中軌跡所截得的線段長度為

2

•

8 3

7

=

8 6

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查定義法求軌跡方程、兩圓相切的條件等知識(shí)，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．