Question

如圖所示，過點S引三條直線兩兩垂直，一個平面與這三條直線分別交于A、B、C．求證：

(1)△ABC是銳角三角形；

(2)若△ABC的垂心O是S在平面ABC上的射影，則△SAB的面積為△OAB和△ABC面積的比例中項．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖，設(shè)SA＝a，SB＝b，SC＝c 　　∵SC⊥SB，∴在Rt△SBC中，BC＝ 　　同理，AB＝，AC＝ 　　在△ABC中，根據(jù)余弦定理： 　　cosB＝＞0，∴＜B＜ 　　同理，∴＜A＜，∴＜B＜，∴△ABC是銳角三角形． 　　(2)連CO并延長交AB于E，由題意可證得△ABC的垂心O就是S在平面內(nèi)的射影． 　　∵SE⊥AB，CE⊥AB，設(shè)∠SEC＝α 　　∴OE＝，CE＝SE·cosα 　　又S△OAB＝AB·OE＝AB· 　　S△ABC＝AB·CE＝AB·SE·cosα 　　又∵S△OAB·S△ABC＝AB2·SE2＝(AB·SE)2＝(S△SAB)2 　　∴S△SAB是S△OAB與S△ABC的比例中項．