Question

18．如圖，在四棱錐A-EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四邊形EFCB是高為$\sqrt{3}$的等腰梯形，EF∥BC，O為EF的中點(diǎn)．
（1）求證：AO⊥CF；
（2）求O到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AO⊥EF，推出AO⊥平面EFCB，即可證明AO⊥CF．
（2）取BC的中點(diǎn)G，連接OG．推出OG⊥BC，OA⊥BC，得到BC⊥平面AOG，過(guò)O作OH⊥AG，垂足為H，說(shuō)明OH⊥平面ABC，O到平面ABC的距離為OH，求解即可．

解答 （1）證明：因?yàn)椤鰽EF等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，所以AO⊥EF…（1分）
又因?yàn)槠矫鍭EF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，平面AEF∩平面EFCB=EF，
所以AO⊥平面EFCB，…（4分）
又CF?平面EFCB，所以AO⊥CF…（5分）
（2）解：取BC的中點(diǎn)G，連接OG．
由題設(shè)知，OG⊥BC…（6分）
由（1）知AO⊥平面EFCB，
又BC?平面EFCB，所以O(shè)A⊥BC，因?yàn)镺G∩OA=O，所以BC⊥平面AOG…（8分）
過(guò)O作OH⊥AG，垂足為H，則BC⊥OH，因?yàn)锳G∩BC=G，所以O(shè)H⊥平面ABC．
…（10分）
因?yàn)?OG=\sqrt{3}，AO=\sqrt{3}$，所以$OH=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
即O到平面ABC的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．（另外用等體積法亦可）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，空間點(diǎn)、線、面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．