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3.已知拋物線C1:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為32,以P為原點(diǎn)且與拋物線準(zhǔn)線l相切的圓恰好過(guò)原點(diǎn)O.
(1)求拋物線C1的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A(a,0)(a>2),圓C2的圓心T是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),圓C2與y軸交于M、N兩點(diǎn),且|MN|=4,若點(diǎn)A到點(diǎn)T的最短距離為a-1,試判斷直線l與圓C2的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

分析 (1)根據(jù)拋物線的定義結(jié)合圓的性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.
(2)根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系求出圓心T的坐標(biāo),結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解答 (1)∵y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為32,
∴|PF|=32
∵以P為原點(diǎn)且與拋物線準(zhǔn)線l相切的圓恰好過(guò)原點(diǎn)O,
∴|PO|=|PF|=32,
即△POF為等腰三角形,過(guò)P作PQ⊥x于Q,
則x=p4,
p2+p4=32得p=2,
∴拋物線的方程為y2=4x.
(2)設(shè)T(x0,y0),圓C2的半徑為r,
∵T是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),
∴.y02=4x0,(x0≥0),
∴|AT|=x0a2+y002=[x0a2]2+4a4,
∵a>2,∴a-2>0,
則當(dāng)x0=a-2時(shí),AT取得最小值為2a1,
由2a1=a-1,平方得a2-6a+5=0,得a=5或a=1(舍),
則當(dāng)x0=a-2=3,y02=4x0=12,即y0=±23,
∴圓C2的圓心T(3,±23),
∵圓C2與y軸交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=4,
∴|MN|=2r2x02=4,
∴r=4+x02=13
∵點(diǎn)T到直線l的距離d=|x0+1|=413,
∴直線l與圓C2相離.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線方程的求解,以及直線和圓的位置關(guān)系的判斷,綜合性考查圓錐曲線的性質(zhì),運(yùn)算量量較大,綜合性較強(qiáng).

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