Question

7、如圖，AB是半圓的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，直線MN切半圓于C點(diǎn)，AM⊥MN于M點(diǎn)，BN⊥MN于N點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)．
求證：（1）CD=CM=CN；
（2）CD²=AM•BN．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題中圓的切線條件得二組角相等，再依據(jù)全等三角形的判定定理得兩三角形全等，從而證得線段相等；
（2）在直角三角形ABC中應(yīng)用射影定理求得一個(gè)線段的等式，再根據(jù)線段的相等關(guān)系可求得CD²=AM•BN．

解答：證明：（1）連接CA、CB，
則∠ACB=90°∠ACM=∠ABC∠ACD=∠ABC
∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°
∴CD²=AD•DB
由（1）知AM=AD，BN=BD
∴CD²=AM•BN．

點(diǎn)評：本題考查與圓有關(guān)的切線性質(zhì)、全等三角形的判定以及平面幾何的射影定理，屬容易題．