Question

在直二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，A，B都不在l上，AB與α所成角為x，AB與β所成角為y，AB與l所成角為z，則cos²x+cos²y+sin²z的值為（　�。�

• A．

  2

• B．2
• C．3
• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先分別作出AB與α所成角為x，AB與β所成角為y，AB與l所成角為z，再利用三角函數(shù)求解即可．

解答：解：過(guò)A、B分別作AC⊥l于C，BD⊥l于D，過(guò)B作直線(xiàn)平行于l，過(guò)C作直線(xiàn)平行于BD，兩直線(xiàn)交于E，連接AD、AC、AE．
因α一l一β為直二面角，BD在β上，l=α∩β，BD⊥l，故BD⊥α．同理AC⊥β．
又∠BAD、∠ABC分別為AB與α、β所成的角，有∠BAD=x，∠ABC=y．
又EC∥BD，EC⊥l，AC⊥β，有AE⊥l，AE⊥BE，∠EBA=z．
∴cos²x+cos²y+sin²z=

AD2

AB2

+

BC2

AB2

+ 

AE2

AB2

=2
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合，主要考查線(xiàn)面角，線(xiàn)線(xiàn)角，考查求三角函數(shù)的值，關(guān)鍵是正確找出相應(yīng)的角．