已知橢圓C的長軸兩端點為A、B．若C上存在一點Q，且∠AQB=120°，求橢圓C的離心率的范圍．
分析：由對稱性不防設Q在x軸上方，坐標為（x0，y0），進而可表示出tan∠AQB整理出關于x0和y0的關系式，同時把Q點代入橢圓方程，表示出y0進而根據y0的范圍確定a和c的不等式關系，求得離心率的范圍．
解答：解：由對稱性不防設Q在x軸上方，坐標為（x0，y0），
則tan∠AQB=
kQB-kQA
1+ kQB KQA
=-
3
，即
y0
x0-a
- 
y0
x0+a
1+
y0
x0-a
•
y0
x0+a
=-
3

整理得
2ay0
x
2
0
-a2+y 20
=-
3
，①
∵Q在橢圓上，
∴
x
2
0
=a2(1-
y
2
0
b2
)，代入①得y0=
2ab2
3
c2
，
∵0＜y0≤b
∴0＜
2ab2
3
c2
≤b，化簡整理得3e4+4e2-4≥0，
解得
6
3
≤e＜1
點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及了直線的斜率和基本不等式等知識，難度不大但計算較繁瑣，考查了學生的運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
，焦點坐標分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求
OM
•
ON
的值；
（3）在（2）的條件下，若G（s，0），H（k，0），且
GM
⊥
HN
，（s＜k），分別以OG、OH為邊作兩正方形，求此兩正方形的面積和的最小值，并求出取得最小值時的G、H點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•浦東新區(qū)三模）已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F1、F2，拋物線M：y2=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F1，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點F2，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF1F2的周長，求直線l的方程；
（3）由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲線叫“拋橢圓”，是否存在以原點O為直角頂點，另兩個頂點A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•浦東新區(qū)三模）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．
已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F1、F2，拋物線M：y2=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F1，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點F2，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF1F2的周長，求直線l的方程；
（3）是否存在實數(shù)m，使得△PF1F2的邊長為連續(xù)的自然數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學復習（第8章 圓錐曲線）：8.1 橢圓（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C的長軸兩端點為A、B．若C上存在一點Q，且∠AQB=120°，求橢圓C的離心率的范圍．

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