Question

如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．
（1）求證：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形，抓住折疊前與折疊后之間的連系，利用條件在平面內(nèi)找到與直線平行的直線用線面平行的判定定理進(jìn)行證明．
（2）由題意及（1）可以知道利用二面角的概念找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小．

解答：解：由題意畫(huà)出如下圖形：
（1）連接AC，BD交與點(diǎn)O，連接GO，F(xiàn)O，EO，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，
∴EF

∥

.

1

2

CD   ，GO

∥

.

1

2

CD∴EF

∥

.

GO
∴四邊形EFOG是平行四邊行，∴EO?平面EFOG，又在△PAC中，
E，O分別為PC，AC的中點(diǎn)∴PA∥EOEO?平面EFOGPA不在平面EFOG
∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG；

（2）取AD的中點(diǎn)H，連接GH，則由GH∥CD∥EF知平面EFG即為平面EFGH，
由已知底面ABCD為正方形∴AD⊥DC
又∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD又PD∩DC=D∴CD⊥平面PAD
又EF∥CD∴EF⊥平面PAD∴EF⊥FD，EF⊥FH∴∠HFD為二面角的平面角
在直角三角形FDH中，由FD=DH=1得∠HFD=45°，故二面角G-EF-D的平面角為45°．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了學(xué)生們的空間想象能力，還考查了正方形的特點(diǎn)及折疊前后之間的不變量及線面平行的判定定理，此外還考查了利用二面角平面角的定義在三角形中求解二面角的大�。�