Question

（本小題滿分13分）如圖所示，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，是棱上的動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）若是的中點(diǎn)，求證：//平面；

（Ⅱ）若，求證：；

（III）在（Ⅱ）的條件下，若，求四棱錐的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)底面為菱形， 所以為的中點(diǎn)．

因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以從而得證。

（2）根據(jù)已知的條件得到平面，然后結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理得到結(jié)論

（3）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明:連結(jié)，交于．

因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520431599216057/SYS201304152044097890682688_DA.files/image001.png">為菱形， 所以為的中點(diǎn)．

因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以 ，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520431599216057/SYS201304152044097890682688_DA.files/image012.png">平面，平面，

所以平面． …………………4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520431599216057/SYS201304152044097890682688_DA.files/image001.png">為菱形，

所以，為的中點(diǎn)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520431599216057/SYS201304152044097890682688_DA.files/image017.png">，所以 ．   

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520431599216057/SYS201304152044097890682688_DA.files/image019.png">，所以 平面．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520431599216057/SYS201304152044097890682688_DA.files/image020.png">平面，

所以 ．                   ………………………………8分

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520431599216057/SYS201304152044097890682688_DA.files/image022.png">，所以△為等腰三角形 ．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520431599216057/SYS201304152044097890682688_DA.files/image002.png">為的中點(diǎn)，所以．

由（Ⅱ）知，且，

所以平面，即為四棱錐的高． 

因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，且，

所以．

所以 ．              ……………12分

考點(diǎn)：線面平行，線線垂直，體積的問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用空間的線面平行和線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理來(lái)證明平行與垂直同時(shí)根據(jù)等體積法來(lái)求解體積。屬于中檔題。