Question

17．設(shè)f（n）=（a+b）ⁿ（n∈N^*，n≥2），若f（n）的展開式中，存在某連續(xù)3項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列，則稱f（n）具有性質(zhì)P．
（1）求證：f（7）具有性質(zhì)P；
（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性質(zhì)P，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二項(xiàng)式定理計(jì)算可知f（7）的展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為7、21、35，通過(guò)驗(yàn)證即得結(jié)論；
（2）通過(guò)假設(shè)${C}_{n}^{k-1}$+${C}_{n}^{k+1}$=2${C}_{n}^{k}$，化簡(jiǎn)、變形可知（2k-n）²=n+2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求當(dāng)n≤2016時(shí)n取何值時(shí)n+2為完全平方數(shù)，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：f（7）的展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為${C}_{7}^{1}$=7、${C}_{7}^{2}$=21、${C}_{7}^{3}$=35，
∵${C}_{7}^{1}$+${C}_{7}^{3}$=2${C}_{7}^{2}$，即${C}_{7}^{1}$、${C}_{7}^{2}$、${C}_{7}^{3}$成等差數(shù)列，
∴f（7）具有性質(zhì)P；
（2）解：設(shè)f（n）具有性質(zhì)P，則存在k∈N^*，1≤k≤n-1，使${C}_{n}^{k-1}$、${C}_{n}^{k}$、${C}_{n}^{k+1}$成等差數(shù)列，
所以${C}_{n}^{k-1}$+${C}_{n}^{k+1}$=2${C}_{n}^{k}$，
整理得：4k²-4nk+（n²-n-2）=0，即（2k-n）²=n+2，
所以n+2為完全平方數(shù)，
又n≤2016，由于44²＜2016+2＜45²，
所以n的最大值為44²-2=1934，此時(shí)k=989或945．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．