16、設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則下列四個命題：①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；②當x∈[1，3]時，f（x）=（2-x）3； ③函數(shù)y=f（x）的圖象關于x=1對稱；④函數(shù)y=f（x）的圖象關于（2，0）對稱．其中正確的命題是
①②③④
．
分析：根據(jù)題意，結(jié)合各個選項，逐一檢驗答案，將條件等價轉(zhuǎn)化變形，綜合考慮函數(shù)的周期性、對稱性、解析式，分析可得答案．
解答：解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），∴函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
故①正確．
當x∈[1，3]時，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）3=-f（x），
∴f（x）=（2-x）3，故②正確．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于x=1對稱，
故③正確．
∵當x∈[1，3]時，f（x）=（2-x）3，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于（2，0）對稱．
故正確的命題有  ①②③④，
故答案選  ①②③④．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，以及運用函數(shù)的奇偶性和周期性求函數(shù)解析式及函數(shù)值、函數(shù)圖象的對稱性．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f （x）是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當-1≤x≤1時，f （x）=x3，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　�。�
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
①對正數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1
（I）求f（1）和f(
19
)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，6]，則函數(shù)g（x）在[-12，12]上的值域為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在正實數(shù)上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求證：f（
xy
）=f（x）-f（y）；
（2）若f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當x∈[-1，1]時，f（x）=x3，則下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②當x∈[1，3]時，f（x）=（ x-2）3；
③直線x=±1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸；
④點（2，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心；
⑤函數(shù)y=f（x）在點（
3
2
，f（
3
2
））處的切線方程為3x-y-5=0．
其中正確的是
①③
①③
．（寫出所有正確命題的序號）

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