Question

19．如圖在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC交BD于點(diǎn)O．
（1）證明：A₁C⊥BC₁；
（2）棱CC₁上是否存在一點(diǎn)M，使得A₁O⊥平面MBD．

Answer 1

分析 （1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁，又A₁B₁∩CB₁=B₁，即可證明BC₁⊥平面A₁B₁C，結(jié)合A₁C?平面A₁B₁C，即可證明A₁C⊥BC₁．
（2）利用線面垂直的判定定理證明DB⊥平面A₁ACC₁ ，證得A₁O⊥DB．再用勾股定理證明A₁O⊥OM，這樣，A₁O就垂直于平面MBD內(nèi)的兩條相交直線，從而可證A₁O⊥平面MBD．

解答 證明：（1）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁，
又∵A₁B₁∩CB₁=B₁，

∴BC₁⊥平面A₁B₁C，
∵A₁C?平面A₁B₁C，
∴A₁C⊥BC₁．
（2）存在M為CC₁的中點(diǎn)時(shí)，可得：A₁O⊥平面MBD．
證明如下：連接MO，∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁

又∵A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
∵在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan∠MOC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AA₁O=∠MOC，
則∠A₁OA+∠MOC=90°．
∴A₁O⊥OM．
∵OM∩DB=O，
∴A₁O⊥平面MBD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了證明直線和平面垂直判定，一般方法為在其中一個(gè)平面內(nèi)找出2條相交直線和另一個(gè)直線垂直，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．