Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n=3ⁿ⁺¹-3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=lga_n，設(shè)T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1進(jìn)而求得n≥2時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用a₁=S₁求得a₁，最后綜合可求得a_n．
（2）求出b_n=lga_n=lg3ⁿ=nlg3，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵2S_n=3ⁿ⁺¹-3，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=3ⁿ⁺¹-3-（3ⁿ-3）=2×3ⁿ；
∴a_n=3ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=2S₁=3²-3=6，
∴a₁=3，滿足上式，
∴a_n=3ⁿ，
（2）∵b_n=lga_n=lg3ⁿ=nlg3，
∴T_n=lg3（1+2+3+…+n）=$\frac{n（n+1）lg3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)n≥2時(shí)利用a_n=S_n-S_n-1進(jìn)行求解，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．