Question

(2007全國Ⅱ，22)已知函數(shù)，．

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t，f(t))處的切線方程；

(2)設(shè)a＞0，如果過點(diǎn)(a，b)作曲線y=f(x)的三條切線，

證明：－a＜b＜f(a)．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)． 曲線y=f(x)，在點(diǎn)M(t，f(t))處的切線方程為， 即． (2)如果有一條切線過點(diǎn)(a，b)，則存在t，使． 于是，若過點(diǎn)(a，b)可作曲線y=f(x)的三條切線， 則方程．有三個相異的實(shí)數(shù)根． 記，則 當(dāng)t變化時，g(t)，變化情況如下表： 由g(t)的單調(diào)性，當(dāng)極大值a＋b＜0或極小值b－f(a)＞0時，方程g(t)=0最多有一個實(shí)數(shù)根； 當(dāng)a＋b=0時，解方程g(t)=0，得， 即方程g(t)=0只有兩個相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b－f(a)=0時，解方程g(t)=0，得，t=a，即方程g(t)=0，只有兩個相異的實(shí)數(shù)根． 綜上，如果過(a，b)可作曲線y=f(x)三條切線，即g(t)=0有三個相異的實(shí)數(shù)根，則 即－a＜b＜f(a)．