Question

7．已知向$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，求$\overrightarrow$²+$\overrightarrow{c}$²的值．

Answer 1

分析 可由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$便可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，分別在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$兩邊乘以$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}$便可依次求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}，{\overrightarrow}^{2}，{\overrightarrow{c}}^{2}$的值，從而求出${\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$的值．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{c}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow•\overrightarrow{c}=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•\overrightarrow{c}$；
同理，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
又$|\overrightarrow{a}|=1$；
∴由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$得，${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=1+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=-1$；
由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}=0$；
∴${\overrightarrow}^{2}=-\overrightarrow•\overrightarrow{c}=1$；
同理，由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{c}}^{2}=0$；
∴${\overrightarrow{c}}^{2}=2$；
∴${\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}=3$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式．