Question

一列火車自A城駛往B城，沿途有n個車站（包括起點站A和終點站B），車上有一郵政車廂，每停靠一站便卸下面前各站發(fā)往該站的郵袋各一個，同時又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個.設(shè)從第k站出發(fā)時，郵政車廂內(nèi)共有郵袋a_k（k=1,2,3,…,n）個，試求：

（1）數(shù)列{a_n}的通項a_k的通項公式；

（2）k為何值時a_k最大？并求出a_k的最大值.

Answer 1

解：（1）由題意可知：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，a₃=（n-1）+(n-2)+(n-3)-1-2,…

    在k站，前面放上的郵袋共有n-1+n-2+n-3+…+n-k個，而放下的郵袋為1+2+3+…+（k+1），

故a_k=n-1+n-2+…+（n-k）-（1+2+…+k-1）=kn-k²(k=1,2,…,n).

（2）a_k=-(k-)²+，若n為偶數(shù)，則當k=時，a_k的最大值是,若n為奇數(shù)，則當k=或時,a_k的最大值是.