Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

2

3

)內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-ax²，知f'（x）=3x²-2ax．由函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

2

3

)內(nèi)是減函數(shù)，知f'（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）由f′(x)=3x(x-

2

3

a)，令f'（x）=0得x=0或

2

3

a．若a≤0，則當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1-a；若0＜a＜

3

2

，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1-a；若

3

2

≤a＜3，1＜x＜

2

3

a時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)

2

3

a＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0．所以h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3若a≥3，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，所以h（a）=f（2）=8-4a．由此能得到結(jié)果．

解答：（1）解：∵f（x）=x³-ax²，
∴f'（x）=3x²-2ax．…（2分）
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

2

3

)內(nèi)是減函數(shù)，
∴f'（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立． 
 即a≥

3x

2

在(0，

2

3

)上恒成立，…（4分）
∵

3x

2

＜

3

2

×

2

3

=1，
∴a≥1．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．…（6分）
（2）解：∵f′(x)=3x(x-

2

3

a)，
令f'（x）=0得x=0或

2

3

a．…（8分）
①若a≤0，則當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以h（a）=f（1）=1-a．…（9分）
②若0＜a＜

3

2

，即0＜

2

3

a＜1，
則當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f'（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以h（a）=f（1）=1-a…（10分）
③若

3

2

≤a＜3，即1≤

2

3

a＜2，
則當(dāng)1＜x＜

2

3

a時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)

2

3

a＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0．
∴f（x）在[1，

2

3

a]上是減函數(shù)，在[

2

3

a，2]上是增函數(shù)．
∴h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3．…（11分）
④若a≥3，即

2

3

a≥2，
則當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，
所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)．
所以h（a）=f（2）=8-4a．…（12分）
綜上h(a)=

1-a    ，a＜ 3 2 - 4 27 a3，   3 2 ≤a＜3， 8-4a，，a≥3．

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．