已知函數(shù)f(x)=-alnx+(a+1)x-
1
2
x2 (a>0)

(1)若x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若f(x)≥-
1
2
x2+ax+b
恒成立,求實(shí)數(shù)ab的最大值.
分析:(1)求導(dǎo)數(shù),利用x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),確定a的范圍,即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)的最值,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)求導(dǎo)數(shù)可得,f′(x)=
(x-a)(-x+1)
x

∵x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),
∴0<a<1
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a),(1,+∞);
(2)∵f(x)≥-
1
2
x2+ax+b
恒成立,
∴alnx-x+b≤0恒成立,
令g(x)=alnx-x+b,則g′(x)=
a-x
x

∴g(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減
∴g(x)max=g(a)=alna-a+b≤0
∴b≤a-lna,∴ab≤a2-a2lna
令h(x)=x2-x2lnx(x>0),則h′(x)=x(1-2lnx)
∴h(x)在(0,e
1
2
)上單調(diào)遞增,在(e
1
2
,+∞)上單調(diào)遞減
∴h(x)max=h(e
1
2
)=
e
2
,∴ab≤
e
2

即ab的最大值為
e
2
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)的最值,正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.
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已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)
,
求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
(2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
,
1
2
]
C、(
1
3
,
6
11
]
D、[
6
11
,1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

(1)求f(x)的定義域與值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)研究f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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