Question

用模型f（x）=ax+b來(lái)描述某企業(yè)每季度的利潤(rùn)f（x）（億元）和生產(chǎn)成本投入x（億元）的關(guān)系．統(tǒng)計(jì)表明，當(dāng)每季度投入1（億元）時(shí)利潤(rùn)y₁=1（億元），當(dāng)每季度投入2（億元）時(shí)利潤(rùn)y₂=2（億元），當(dāng)每季度投入3（億元）時(shí)利潤(rùn)y₃=2（億元）．又定義：當(dāng)f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的數(shù)值最小時(shí)為最佳模型．
（1）若b=

2

3

，求相應(yīng)的a使f（x）=ax+b成為最佳模型；
（2）根據(jù)題（1）得到的最佳模型，請(qǐng)預(yù)測(cè)每季度投入4（億元）時(shí)利潤(rùn)y₄（億元）的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的數(shù)值最小時(shí)為最佳模型，把條件中所給的數(shù)值代入，整理出關(guān)于a的二次函數(shù)，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)上一問(wèn)做出的a的值，和所給的b的值，寫(xiě)出關(guān)于利潤(rùn)f（x）（億元）和生產(chǎn)成本投入x（億元）的關(guān)系式，把所給的x=4代入，得到y(tǒng)的值．

解答：解：（1）∵當(dāng)f（x）使[f（1）-y₁]²+[f（2）-y₂]²+[f（3）-y₃]²的數(shù)值最小時(shí)為最佳模型
b=

2

3

時(shí)[f(1)-y1]2+[f(2)-y2]2+[f(3)-y3]2=14(a-

1

2

)2+

1

6

∴a=

1

2

時(shí)，函數(shù)為最佳模型
（2）∵a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

x+b，
∵b=

2

3

∴f(x)=

1

2

x+

2

3

，
∴當(dāng)x=4時(shí)有y4=f(4)=

8

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，看清楚本題所定義的最簡(jiǎn)模型的運(yùn)算，本題是一個(gè)比較新穎的題目．