Question

已知．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值g（m）的解析式；
（2）若g（m）≥t+m+2對任意m∈[-4，0]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，∴1≤log₂x≤3，
∵f（x）=（2m+log₂x）（2-log₂x），令log₂x=y∈[1，3]，
∴f（x）=（2m+y）（2-t）=-[y-（1-m）]²+m²+2m+1，…（4分）
討論對稱軸 y=1-m，得 ．…（10分）
（2）根據(jù)題意：t≤g（m）-m-2對任意的m∈[-4，0]恒成立，
①當(dāng)m∈[-4，-2）時，t≤-3m-5，由于-3m-5關(guān)于m單調(diào)遞減，∴t≤-3（-2）-5=1．…（12分）
②當(dāng)m∈[-2，0]時，t≤m²+m-1，
而，∴．…（15分）
綜上，．…（16分）
分析：（1）令log₂x=y∈[1，3]，可得f（x）=（2m+y）（2-t）=-[y-（1-m）]²+m²+2m+1，討論對稱軸 y=1-m，得 函數(shù)f（x）的最大值g（m）的解析式．
（2）根據(jù)題意：t≤g（m）-m-2對任意的m∈[-4，0]恒成立，①當(dāng)m∈[-4，-2）時，t≤-3m-5，可得t≤1．②當(dāng)m∈[-2，0]時，t≤m²+m-1恒成立，求得，綜合可得實數(shù)t的取值范圍．
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用以及函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．