【題目】火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風(fēng)冷卻塔是一種大型薄殼型構(gòu)筑物。建在水源不十分充足的地區(qū)的電廠,為了節(jié)約用水,需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng),以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用,大型電廠采用的冷卻構(gòu)筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內(nèi)陸缺水電站,其高度一般為75~150米,底邊直徑65~120米. 雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構(gòu)筑物占地面積小,布置緊湊,水量損失小,且冷卻效果不受風(fēng)力影響;它比機力通風(fēng)冷卻塔維護簡便,節(jié)約電能;但體形高大,施工復(fù)雜,造價較高.(以上知識來自百度,下面題設(shè)條件只是為了適合高中知識水平,其中不符合實際處請忽略.)
(1)如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖(忽略壁厚),其底面直徑大于上底直徑,已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線,高度為100,俯視圖為三個同心圓,其半徑分別40,,30,試根據(jù)上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(為長度單位米);
(2)試?yán)谜n本中推導(dǎo)球體積的方法,利用圓柱和一個倒放的圓錐,計算封閉曲線:,,繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積多少?(用表示).(用積分計算不得分)現(xiàn)已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結(jié)構(gòu),為計算方便設(shè)其內(nèi)壁所在曲線也為雙曲線,其壁最厚為0.4(底部),最薄處厚度為0.3(喉部,即左右頂點處),試計算該冷卻塔內(nèi)殼所在的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是?并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積(內(nèi)外殼之間)大約是多少;(計算時取3.14159,保留到個位即可)
(3)冷卻塔體型巨大,造價相應(yīng)高昂,本題只考慮地面以上部分的施工費用(建筑人工和輔助機械)的計算,鋼筋土石等建筑材料費用和和其它設(shè)備等施工費用不在本題計算范圍內(nèi).超高建筑的施工(含人工輔助機械等)費用隨著高度的增加而增加,現(xiàn)已知:距離地面高度30米(含30米)內(nèi)的建筑,每立方米的施工費用平均為:400元/立方米;30米到40米(含40米)每立方米的施工費用為800元/立方米;40米以上,平均高度每增加1米,每立方米的施工費用增加100元.試計算建造本題中冷卻塔的施工費用(精確到萬元).
【答案】(1),;(2),,;(3)萬元.
【解析】
(1)由最窄處距離可求得;根據(jù)時,;時,,可構(gòu)造方程求得,從而得到雙曲線方程;(2)首先求得雙曲線旋轉(zhuǎn)體的體積和內(nèi)層雙曲線方程,計算得到體積差的函數(shù)關(guān)系式,分別代入和可求得體積差,加和得到所求體積;(3)由(2)可推得高度時的幾何體體積;將在高度米以內(nèi)的薄殼體積的建筑費用分為高度米以內(nèi)和高度在米之間兩類分別計算;設(shè)超過米部分,每高米的環(huán)形建筑物的體積構(gòu)成數(shù)列,其相應(yīng)的每立方米的施工費用對應(yīng)為等差數(shù)列,易得通項公式;由雙曲線對稱性可知,進而可計算出此部分對應(yīng)的建筑費用;綜合三部分的費用即可得到結(jié)果.
(1)最窄處即雙曲線兩頂點間
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
由題意知:當(dāng)(地面半徑)時對應(yīng)的值是;當(dāng)時,的值為
,解得:
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,
(2)高為的雙曲線旋轉(zhuǎn)體的體積是:
其旋轉(zhuǎn)體相當(dāng)于一個底面半徑為,高為的圓柱與底面半徑為,高為倒立圓錐的體積之和.
計算內(nèi)層雙曲線方程為:
高為時雙曲線旋轉(zhuǎn)體的體積差為:
當(dāng)與時,計算上述體積差,分別為,,合計約為立方米
冷卻塔的建筑體積約為立方米
(3)由(2)知高為的雙曲線冷卻塔殼體體積為立方米
立方米
當(dāng)高度時,其幾何體體積為:
于是在高度米以內(nèi)的薄殼體積的建筑費用:
第一部分,高度米以內(nèi)的體積:
相應(yīng)施工費用為:(元)
第二部分,高度在米之間的部分體積
相應(yīng)施工費用為:(元)
設(shè)超過米部分,每高米的環(huán)形建筑物的體積構(gòu)成數(shù)列,其相應(yīng)的每立方米的施工費用對應(yīng)為等差數(shù)列
注意到雙曲線的對稱性,本題中的冷卻塔喉部在高度米處,其上方米,下方處恰為高度米處,于是
又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列
這部分費用為:
其中為(2)中時殼體的體積,其值約為
這部分施工費用約為(元)
綜上,本題中所求的施工總費用元,約萬元
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的一個頂點為,且焦距為,直線交橢圓于、兩點(點、與點不重合),且滿足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)為坐標(biāo)原點,若點滿足,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】如圖,已知圓錐底面半徑,為底面圓圓心,點Q為半圓弧的中點,點為母線的中點,與所成的角為,求:
(1)圓錐的側(cè)面積;
(2)兩點在圓錐面上的最短距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點作拋物線的兩條切線,切點分別為,,,分別交軸于,兩點,為坐標(biāo)原點,則與的面積之比為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=||,實數(shù)m,n滿足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值為2,則=________.
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【題目】說明下述命題是否可以看成判定定理或性質(zhì)定理,如果可以,說出其中涉及的充分條件或必要條件:
(1)形如(是非零常數(shù))的函數(shù)是二次函數(shù);
(2)菱形的對角線互相垂直.
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【題目】對于函數(shù),若在定義域存在實數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.
(1)已知二次函數(shù),試判斷是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由;
(2)設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x),且f(1)=6,f(3)=2.
(1)求f(x)的解析式
(2)是否存在實數(shù)m,使得在[-1,3]上f(x)的圖象恒在直線y=2mx+1的上方?若存在,求m的取值范圍;若不存在,說明理由.
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