Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行．
求：（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≤x²+b恒成立．求b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=lnx+ax²，
∴x＞0，，
∵函數(shù)f（x）=lnx+ax²在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行，
∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
∴，
∵x＞0，∴由＞0，得0＜x＜；由＜0，得x＞．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（），單調(diào)增區(qū)間為（0，）．
（2）∵函數(shù)f（x）≤x²+b恒成立，
∴b≥lnx-2x²恒成立，
∴b≥（lnx-2x²）_max．
設(shè)g（x）=lnx-2x²，x＞0．
則，
令=0，得x=．
當(dāng)0＜x時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞時(shí)，g′（x）＜0．
∴當(dāng)x=時(shí)，=ln-2×（）²=1n-．
∴b≥ln-．
故b的取值范圍是（ln-，+∞）．
分析：（1）由函數(shù)f（x）=lnx+ax²在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=-x+1平行，解得a=-1．故，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由函數(shù)f（x）≤x²+b恒成立，知b≥lnx-2x²恒成立，故b≥（lnx-2x²）_max．由此能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線平行的條件和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．