Question

_{記函數f（x）的定義域為D，若存在，使成立，則稱為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．}

_{（1）若函數圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求a，b應滿足的條件；}

_{（2）在（1）的條件下，若a=8,記函數f（x） 圖象上有兩個不動點分別為A1，A2，P為函數f（x）圖象上的另一點，其縱坐標>3，求點P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時的坐標；}

_{（3）下述命題：“若定義在R}上的奇函數_{f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，給予證明；若不正確，請舉一反例．}

Answer 1

解：（1）若為_{函數f（x）不動點，則有，}

_{整理得          ①}            

_{根據題意可判斷方程①有兩個根，且這兩個根互為相反數，得}

>4a  且，<0

所以b=3 ,a>0                                    

而 ，所以．

即b=3，a>0，且a≠9.                                 

（2）在（1）的條件下，當a=8時，．

由 ，解得_{兩個不動點為，}

_{設點P（x ,y）,則y>3 ,即 >3解得x<-3 ．}

_{設點P（x，y）到直線A1A2的距離為d，則}

．                        

當且僅當，即x=―4時，取等號，此時P（―4，4）．

（3）命題正確．                              

因為_{f（x）定義在R}上的奇函數，所以_f（―0）=―_f（0） ,所以0是奇函數_{f（x）的一個不動點．}

_設c≠0是奇函數_{f（x）的一個不動點,則f（c）=c ,由，所以―c也是f （x）的一個不動點．}

_{所以奇函數f（x）的非零不動點如果存在,則必成對出現，故奇函數f（x）的不動點數目是奇數個．}