Question

18．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2，AD=$\sqrt{2}$，AB=1，如圖1所示，將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，如圖2所示．
（Ⅰ）當(dāng)平面PBD⊥平面PBC時，求三棱錐P-BCD的體積；
（Ⅱ）在圖2中，E為PC的中點(diǎn)，若線段BQ∥CD，且EQ∥平面PBD，求線段BQ的長；
（Ⅲ）求證：BD⊥PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)可得PD⊥PC，由已知可求BP²+CP²=BC²，利用勾股定理即得BP⊥CP，求得S_△ABC，即可求得三棱錐P-BCD的體積．
（Ⅱ）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，BF，先證明EF∥BQ，即B，F(xiàn)，E，Q共面，利用線面平行，可得EQ∥BQ，進(jìn)而證明四邊形BFEQ是平行四邊形，即可得解BQ的長．
（Ⅲ）在圖1中，連接AC，交BD與G點(diǎn)，可證∠CAD=∠DBA，進(jìn)而可證BD⊥AC，通過證明BD⊥平面PCG，結(jié)合PC?平面PCG，即可證明BD⊥PC．

解答 （本題滿分為14分）
解：（Ⅰ）當(dāng)平面PBD⊥平面PBC時，
因?yàn)镻B⊥PD，且平面PBD∩平面PBC=PB，PD?平面PBD，
所以PD⊥平面PBC，
因?yàn)镻C?平面PBC，
所以PD⊥PC，
因?yàn)樵谥苯翘菪蜛BCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2，AD=，AB=1，
所以BD=BC=$\sqrt{3}$，DP=$\sqrt{2}$，
所以CP═$\sqrt{C{D}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又因?yàn)锽P=1，
所以BP²+CP²=BC²，
所以BP⊥CP，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$PB×PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以三棱錐P-BCD的體積等于${V}_{D-PBC}=\frac{1}{3}$S_△PBC•PD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$…4分
（Ⅱ）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，BF，如右圖所示，
又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，
所以EF∥CD，且EF=$\frac{1}{2}$CD，
又因?yàn)锽Q∥CD，
所以EF∥BQ，所以B，F(xiàn)，E，Q共面，
因?yàn)镋Q∥平面PBD，EQ?平面BEFQ，且平面BFEQ∩平面PBD=BF，
所以EQ∥BQ，又因?yàn)镋F∥BQ，所以四邊形BFEQ是平行四邊形，
所以BQ=EF=$\frac{1}{2}$CD=1．…10分
（Ⅲ）證明：在圖1中，連接AC，交BD與G點(diǎn)，
因?yàn)椤螩DA=∠DAB=90°，
所以tan∠CAD═$\frac{CD}{AD}$=$\sqrt{2}$，tan∠DBA═$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{2}$，
所以∠CAD=∠DBA，因?yàn)椤螩AD+∠BAG=90°，
所以∠DBA+∠BAG=90°，
所以BD⊥AC，
所以將△ABD沿BD折起到△PBD的位置后，仍有BD⊥PG，BD⊥CG，如圖2所示，
又因?yàn)镻G∩CG=G，
所以BD⊥平面PCG，
又因?yàn)镻C?平面PCG，
所以BD⊥PC．…14分

點(diǎn)評 本題主要考查了面面垂直、線面垂直的性質(zhì)，考查三棱錐的體積的求法，考查線與面垂直的證明，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．