Question

6．下列命題中，正確的命題個數(shù)為（　　）
①△ABC的三邊分別為a，b，c，則該三角形是等邊三角形的充要條件為a²+b²+c²=ab+ac+bc；
②數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S_n=An²+Bn是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件；
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項和，滿足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，則{a_n}是等比數(shù)列；
④已知a₁，b₁，c₁，a₂，b₂，c₂都是不等于零的實數(shù)，關(guān)于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分別為P，Q，則$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$是P=Q的充分必要條件．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷，
②根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)進行判斷，
③根據(jù)數(shù)列項和前n項和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行判斷．
④舉反例進行判斷即可．

解答 解：①若a=b=c，則a²+b²+c²=ab+ac+bc成立，
反之若a²+b²+c²=ab+ac+bc，則2（a²+b²+c^2）=2（ab+ac+bc），
整理得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，當且僅當a=b=c時成立故充分性成立，故①正確；
②當n=1時，a₁=A+B；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2An+B-A，
顯然當n=1時也滿足上式，
∴a_n-a_n-1=2A，
∴{a_n}是等差數(shù)列．
反之，若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac7mpnq1z{2}$n²+（a₁-$\fracv8krz16{2}$）n，
令A=$\fracqchxj0x{2}$，B=a₁-$\fraclhz2l0w{2}$，則S_n=An²+Bn，A，B∈R．
綜上，“S_n=An²+Bn，是“數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列”的充要條件．故②正確，
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項和，滿足S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，
則當n≥2時，S_n=$\frac{1}{2}$S_n-1+2，
兩式作差得S_n+1-S_n=$\frac{1}{2}$S_n+2-$\frac{1}{2}$S_n-1-2，
即a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，（n≥2），
當n=1時，S₂=$\frac{1}{2}$S₁+2，
即a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₁+2，
即a₂=-$\frac{1}{2}$a₁+2=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$≠$\frac{1}{2}$，
即{a_n}不是等比數(shù)列；故③錯誤，
④舉反例，不等式x²+x+1＞0與x²+x+2＞0的解集都是R，
但是$\frac{1}{1}=\frac{1}{1}$≠$\frac{1}{2}$，則$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$是P=Q的充分必要條件錯誤，故④錯誤．
故正確的是①②，
故選：B．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，等比數(shù)列以及不等式的求解，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．