【題目】如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC90°,∠BAC30°A1AA1CAC,E,F分別是ACA1B1的中點(diǎn).

1)證明:EFBC;

2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2

【解析】

1)方法一:連接,證明BC⊥平面A1EF,從而EFBC;

方法二:由條件證明A1E⊥平面ABC,以E為原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系

計(jì)算,從而EFBC.

2)方法一:取BC中點(diǎn)G,連結(jié)EGGF,證明平面A1BC⊥平面EGFA從而確定∠EOG是直線EF與平面A1BC所成角(或其補(bǔ)角),運(yùn)用余弦定理求得cosEOG,最終得出答案.

方法二:建立空間直角坐標(biāo)系,先求出平面A1BC的法向量,利用向量的夾角為所求角的正弦,即可求出.

方法一:

證明:(1)連結(jié)A1E,∵A1AA1C,EAC的中點(diǎn),

A1EAC,

又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E平面A1ACC1,

平面A1ACC1平面ABCAC,

A1E⊥平面ABC,∴A1EBC,

A1FAB,∠ABC90°,∴BCA1F,

BC⊥平面A1EF,∴EFBC.

解:(2)取BC中點(diǎn)G,連結(jié)EGGF,則EGFA1是平行四邊形,

由于A1E⊥平面ABC,故A1EEG

∴平行四邊形EGFA1是矩形,

由(1)得BC⊥平面EGFA1

則平面A1BC⊥平面EGFA1,

EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上,

連結(jié)A1G,交EFO,則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成角(或其補(bǔ)角),

不妨設(shè)AC4,則在RtA1EG中,A1E2,EG

OA1G的中點(diǎn),故,

cosEOG,

∴直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.

方法二:

證明:(1)連結(jié)A1E,∵A1AA1C,EAC的中點(diǎn),

A1EAC,

又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E平面A1ACC1,

平面A1ACC1平面ABCAC,

A1E⊥平面ABC,

如圖,以E為原點(diǎn),在平面ABC中,過(guò)EAC的垂線為x軸,

ECEA1所在直線分別為y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AC4,則A10,0,2),B),B1),F),C0,20),

),

0,得EFBC.

解:(2))設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ,

由(1)得),0,2,﹣2),

設(shè)平面A1BC的法向量x,yz),

,取x1,得1),

sinθ,

∴直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著銀行業(yè)的不斷發(fā)展,市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)越來(lái)越激烈,顧客對(duì)銀行服務(wù)質(zhì)量的要求越來(lái)越高,銀行為了提高柜員,員工的服務(wù)意識(shí),加強(qiáng)評(píng)價(jià)管理,工作中讓顧客對(duì)服務(wù)作出評(píng)價(jià),評(píng)價(jià)分為滿意、基本滿意、不滿意三種,某銀行為了比較顧客對(duì)男女柜員員工滿意度評(píng)價(jià)的差異,在下屬的四個(gè)分行中隨機(jī)抽出40人(男女各半)進(jìn)行分析比較對(duì)40人一月中的顧客評(píng)價(jià)不滿意的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),按男、女分為兩組,再將每組柜員員工的月不滿意次數(shù)分為5組:[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[2025],得到如下頻數(shù)分布表.

分組

[0,5

[5,10

[1015

[15,20

[2025]

女柜員

2

3

8

5

2

男柜員

1

3

9

4

3

1)在答題卡所給的坐標(biāo)系中分別畫(huà)出男、女柜員員工的頻率分布直方圖;并求出男、女柜員的月平均不滿意次數(shù)的估計(jì)值,試根據(jù)估計(jì)值比較男、女柜員的滿意度誰(shuí)高?

2)在抽取的40名柜員員工中,從不滿意次數(shù)不少于20的柜員員工中隨機(jī)抽取3人,求抽取的3人中,男柜員不少于女柜員的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知向量,是坐標(biāo)原點(diǎn),若,且方向是沿的方向繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到的,則稱經(jīng)過(guò)一次變換得到,現(xiàn)有向量經(jīng)過(guò)一次變換后得到,經(jīng)過(guò)一次變換后得到,…,如此下去,經(jīng)過(guò)一次變換后得到,設(shè),,則等于(

A.B.

C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】故宮博物院五一期間同時(shí)舉辦“戲曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“歷代青綠山水畫(huà)展”、 “趙孟頫書(shū)畫(huà)展”四個(gè)展覽.某同學(xué)決定在五一當(dāng)天的上、下午各參觀其中的一個(gè),且至少參觀一個(gè)畫(huà)展,則不同的參觀方案共有

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè),若函數(shù)4個(gè)不同的零點(diǎn),且,則的取值范圍是(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù), .

(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)方程有3個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),若對(duì)于任意的,都存在,使得,求滿足條件的正整數(shù)的取值的集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為t為參數(shù)),直線過(guò)點(diǎn)且傾斜角為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.

1)寫(xiě)出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;

2)若直線l與曲線C交于兩點(diǎn),求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知是橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,且.

1)若橢圓經(jīng)過(guò)圓的圓心,求橢圓的方程;

2)在(1)的條件下,若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在棱長(zhǎng)為的正方體中,OAC的中點(diǎn),E是線段D1O上一點(diǎn),且D1E=λEO.

(1)若λ=1,求異面直線DECD1所成角的余弦值;

(2)若平面CDE平面CD1O,λ的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案