Question

在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2+b2-c2=

3

ab．
（1）求角C的大��；
（2）如果0＜A≤

2π

3

，m=2cos2

A

2

-sinB-1，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題中的等式，利用余弦定理算出cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，結合C是三角形的內角，可得∠C的大��；（2）由二倍角公式與誘導公式，化簡得m=cosA-sin(A+C)=cosA-sin(A+

π

6

)，再利用兩角和的正弦公式與輔助角公式，推出m=cos(A+

π

3

)，再結合0＜A≤

2π

3

利用余弦函數的圖象與性質，即可算出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵在△ABC中，a²-c²+b²=

3

ab，
∴根據余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3 ab

2ab

=

3

2

．
又∵C是三角形的內角，可得0＜C＜π，
∴C=

π

6

；
（2）∵cos²

A

2

=

1

2

(1+cosA)，sinB=sin（π-B）=sin（A+C），C=

π

6

，
∴m=2cos2

A

2

-sinB-1=cosA-sin(A+C)=cosA-sin(A+

π

6

)
=cosA-(sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

)=cosA-

3

2

sinA-

1

2

cosA
=

1

2

cosA-

3

2

sinA=cosAcos

π

3

-sinAsin

π

3

=cos(A+

π

3

)．
∵0＜A≤

2π

3

，
可得

π

3

＜A+

π

3

≤π．
∴-1≤cos(A+

π

3

)＜

1

2

，
即m的取值范圍是[-1，

1

2

)．

點評：本題已知三角形的邊滿足的平方關系式，求角C的大小并依此求實數m的取值范圍．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質與余弦定理等知識，屬于中檔題．